Enrique: 2012

El hotel extraordinario o el viaje mil uno de Ion el silencioso
Stanislaw Lem

Regresé a casa bastante tarde -la reunión en el club “Nebulosa de Andrómeda” se alargó hasta
después de la media noche. Terribles pesadillas me acosaron cuando me dormí: soñé primero que
había sido tragado por un enorme monstruo; luego, que estaba nuevamente en el planeta Durditov
y no sabía cómo escapar de aquellas terribles máquinas que hay allí y que convierten a la gente en
hexágonos; luego, ... aunque generalmente se recomienda no mezclar a los ancianos con los
jóvenes, una inesperada llamada telefónica me trajo a la realidad; era el profesor Tarantog, mi
viejo amigo y compañero de viajes siderales.
-Un problema urgente mi querido Ion -escuché- los astrónomos han descubierto un extraño
objeto en el cosmos: una misteriosa línea negra que une a una galaxia con otra, nadie sabe a dónde
va. Ni siquiera los mejores telescopios o radio-telescopios, que informan desde los satélites
artificiales, han revelado el misterio. Usted es nuestra última esperanza. Vuele inmediatamente en
dirección a la Nebulosa ACD-1587.
Al día siguiente, saqué mi viejo fotón-cohete del taller de reparaciones, instalé en él el
acelerador de tiempo y mi robot electrónico que conocía todos los idiomas del universo y todas las
historias para viajeros siderales (estaba garantizado para mantenerme entretenido durante, por lo
menos, una travesía de 5 años). Luego me dispuse a enfrentar el problema cuando lo tuviera a
mano.
Precisamente cuando el robot había agotado su dotación de cuentos y empezaba a
repetirlos (no hay nada peor que escuchar a una máquina electrónica repetir por décima vez un
viejo relato), el objetivo de mi viaje se delineó a lo lejos. Las galaxias que ocultaban la misteriosa
línea habían quedado atrás y enfrente de mí estaba... el Hotel Cosmos.
Años atrás, yo les había construido a los exiliados del espacio, un pequeño planeta para
que se refugiaran; pero lo perdieron y volvieron a vagar por el universo. Luego, decidieron
abandonar la errabundez y construir un grandioso edificio -un hotel para todos los viajeros del
universo... Este se extendía de un confín al otro, a través de casi todas las galaxias; y digo “casi
todas” porque los exiliados habían desmantelado algunas galaxias deshabitadas a fin de proveerse
material para la obra y habían desechado la idea de unirla también con algunas constelaciones
bastante mal situadas.
El resultado de su trabajo fue maravilloso. El hotel tenía en cada cuarto, grifos de los que
fluía plasma caliente y frío. Si se deseaba, las moléculas del propio cuerpo podían disgregarse a
fin de alcanzar el máximo descanso durante la noche y, a la mañana siguiente, el portero se
encargaría de unirlas de nuevo.
Pero lo más importante era que había un número infinito de habitaciones en el hotel. Los
exiliados esperaban que así nadie tendría que volver a escuchar la desagradable frase que los
había perseguido durante toda su época de errabundez: “agotado el alojamiento”.
A pesar de esto, no tuve suerte. Lo primero que vi al entrar al vestíbulo fue un letrero:
“Los delegados al Congreso Cósmico de Zoología se registran en el piso 127”. Dado que hay un
número infinito de galaxias y los asistentes a dicho Congreso provenían de todas ellas, resultó que
todos los cuartos estaban ocupados; no había lugar para mí. El gerente trató, es verdad, de que
alguno de los delegados aceptara compartir su habitación con otra persona, para que yo me
hospedara en él, pero cuando me enteré de que uno de mis posibles compañeros de cuarto
respiraba fluorina y otro consideraba normal mantener la temperatura de su ambiente a 860º,
diplomáticamente denegué el placer de tener a tales vecinos.
Afortunadamente el director era un viejo exiliado que recordaba bien el favor que yo les
había hecho a él y a sus camaradas; trataría de encontrar un lugar para mí en el hotel. De pasar la
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noche en el espacio sideral podía pescar una pulmonía. Después de meditar se volvió al gerente y
le dijo:
- Colóquelo en el número 1.
- ¿Y dónde voy a meter a la persona que está ahí?
- En el número 2, a la del 2 en el 3, a la del 3 en el 4 y así sucesivamente.
Sólo en este momento empecé a comprender las insólitas cualidades del hotel. Si hubiera
habido sólo una cantidad finita de cuartos el huésped del último cuarto sería lanzado al espacio
interestelar. Pero debido a que había una infinidad de habitaciones, se tenía lugar para todos y yo
podía quedarme sin privar a ningún zoólogo de su habitación.
A la mañana siguiente no me sorprendió el requerimiento de que me cambiara al cuarto
número 1,000,000. Simplemente sucedía que algunos participantes en el Congreso habían llegado
retrasados desde la Galaxia VSK-3472, y el personal del hotel debía proporcionar hospedaje a
999,999 invitados más. Pero cuando iba a pagarle al gerente el alquiler del tercer día de mi estadía
en el hotel, casi me desmayo al ver desde su ventana una larga cola de gente que se extendía en
línea recta hasta desaparecer en un lugar cerca de las Nubes de Magallanes.
Precisamente escuché una voz;
-Cambio dos estampillas de la Nebulosa de Andrómeda por una de Sirio.
-¿Quién tiene una estampilla de Sagitario del año 57 de la era cósmica?
Me volví perplejo y pregunté al administrador:
-¿Quién es esta gente?
-Los asistentes al Congreso Universal de Filatelistas.
- ¿Son muchos?
-Una infinidad, un representante de cada galaxia.
-Pero, ¿cómo encontrará cuarto para todos ellos?, recuerdo que los zoólogos no se van sino
hasta mañana.
-No lo sé; voy a platicar unos minutos con el director acerca de esto.
Sin embargo, el problema ahora era mucho más difícil, aquellos “minutos” se convirtieron
en una hora. Finalmente el gerente salió de la oficina del director y procedió a hacer los arreglos
pertinentes. Primero pidió al huésped del 1 que se cambiara al 2. Esto me extrañó; yo sabía por
experiencia propia que tal reacomodo dejaría vacante sólo una habitación, mientras que era
necesario dar alojamiento a nada menos que un conjunto infinito de filatelistas. Pero el gerente
continuó dando órdenes:
-Al huésped del 2 hay que ponerlo en el 4, al del 3 en el 6; en general, a la persona que
ocupa el cuarto con el número n hay que pedirle que se mude al 2n.
Su plan se esclareció: de esta manera quedaría libre el conjunto de habitaciones
numeradas. con un impar y en ellas podían quedar los filatelistas. Finalmente las recámaras pares
estarían ocupadas por los zoólogos y las impares por los filatelistas (con respecto a mí, no digo
nada; después de convivir amistosamente durante 3 días me habían concedido una representación
honorífica en el Congreso, de manera. que tuve que abandonar mi cuarto a la vez que ellos y.
cambiarme del 1,000,000 al 2,000,000). Un filatelista amigo mío, que estaba en el lugar 574 de la
cola, quedó en la recámara 1,147; en general el filatelista que hubiese estado en el n-ésimo
quedaría en la estancia 2n-1.
Al otro día, la situación habitacional se descargó, el Congreso de Zoología había tocado a
su fin y sus asistentes volvían a casa. Me mudé donde el director, en cuyo piso había una
habitación vacante. Pero lo que es bueno para el hospedado, no es siempre del agrado de la
administración; días después mi amable anfitrión se veía triste.
-¿Cuál es el problema? –pregunté.
-La mitad de los cuartos está vacía. No alcanzaremos a cubrir el importe de la hipoteca.
Aunque yo no estaba seguro de qué hipoteca estaba hablando -pues, a pesar de todo, había
cobrado el alquiler de un número infinito de cuartos le di un consejo:
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-Bien, ¿por qué no coloca a los huéspedes más cerca unos de los otros? Acomódelos de tal
manera que llenen todas las recámaras.
Esto era fácil de conseguir. Los filatelistas ocupaban sólo las habitaciones impares: 1, 3, 5,
etc. Habría que dejar al del número 1 allí mismo, al del 3 pasarlo al 2, al del 5 al 3, al del 7 al 4,
etc. Al final, todas las habitaciones estarán ocupadas nuevamente sin que hubiese llegado ningún
viajero.
No obstante, esto no le devolvió la felicidad al director; los exiliados, insatisfechos de
haber erigido el Hotel Cosmos, se habían dado a la tarea de construir -infatigables- un conjunto
infinito de hoteles, cada uno de los cuales tenía una infinidad de recámaras. Para hacerlos, habían
desmantelado tantas galaxias que el equilibrio universal estaba en peligro. Se les exigió que
cerraran todos los hoteles, salvo el nuestro y volvieran a colocar el material usado en su lugar.
Pero era difícil, estando llenos todos los hoteles, llevar a cabo esta orden. Era necesario
trasladar a la infinidad de hospedados de la infinidad de hoteles a uno solo y éste ¡estaba lleno!
-¡Ya tengo suficiente! -gritó el director. Primero acomodé a un huésped extra en un hotel
saturado; luego a otros 999,999; después, el colmo, a un conjunto infinito de éstos y ahora quieren
que aloje a una infinidad de conjuntos infinitos de huéspedes. No, el hotel no es de hule; ¡que los
pongan donde puedan! .
Pero una orden es una orden y contaban con cinco días para resolver el embrollo: nadie
trabajó en el hotel durante este lapso, todos estaban pensando cómo resolverlo. Se anunció un
concurso, el premio era un viaje por alguna galaxia. Sin embargo, todas las propuestas de solución
se desecharon por inútiles. Primero un cocinero del hotel hizo la siguiente: déjese al huésped del 1
en su cuarto, muévase al del 2 al 1,001, al del 3 al 2,001, etc., luego colóquese a los alojados en el
2º hotel en los números 2, en el 1,002, en el 2,002, etc.; los del 3º deberán quedar en e1 3, en el
1,003, en el 2,003, etc. El proyecto fue desechado porque no era del todo claro dónde se iba a
meter a los huéspedes del hotel 1,001; -después de todo, los de los primeros 1,000 ya habían
ocupado todos estos cuartos. Recordé entonces que cuando el servil senado romano ofreció al
emperador cambiar el nombre del mes de septiembre por el de “Tiberius” en su honor (1os meses
anteriores tenían ya apelativos de Julius y Augustus), Tiberius preguntó cáusticamente a los
senadores “¿Y qué le van a ofrendar al décimo tercer César?”
El contador del hotel propuso luego una buena variante. Aconsejaba usar las propiedades
de las progresiones geométricas y colocar al alud de gente que vendría, como sigue: los que ya
están en nuestro hotel, quedarían en los números 2, 4, 8, 16, 32, etc. (éstos forman la progresión
geométrica de razón 2); los del 2º, se acomodarían en los cuartos 3, 9, 27, 81, etc. (éstos son los
términos de la progresión geométrica correspondiente a la razón 3). Propuso, en fin, que se
colocara a las alojadas en los demás hoteles de manera similar. Pero el director del hotel le
preguntó:
-¿Tendremos que utilizar la progresión de razón 4 para el 3er. hotel?
-Desde luego. -replicó el contador.
-Entonces no se ha resuelto nada; después de todo ya tendríamos a alguien de nuestro hotel
en el cuarto número 4 y en el 16 y en el 64...así que, ¿dónde vamos a meter a la gente del 3er.
hotel?
Llegó mi turno; no en vano había estudiado matemáticas durante 5 años en la Academia
Estelar.
-Use los números primos. Siga, para la gente de nuestro hotel y la del 2º, la propuesta del
contador, luego meta a los del 3º en los números 5, 25, 125, 625, ..., a los del 4º en los números 7,
49, 343, ...
-Y, ¿no ocurrirá otra vez que algún cuarto tenga dos huéspedes? -:preguntó el director.
-No, si se toman dos números primos, ninguna de sus potencias enteras positivas pueden
ser iguales. Si p y q son primos, p ≠ q y, m y n son naturales, entonces pm ≠ qn .
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El director estuvo de acuerdo conmigo e inmediatamente halló una modificación a mi
método en la que sólo se necesitaban los primos 2 y 3. Simplemente había que colocar al huésped
del m-ésimo cuarto del n-ésimo hotel en la recámara 2m ⋅3n . Esto funciona porque si m ≠ p o
n ≠ q , entonces 2m ⋅3n ≠ 2p ⋅3q . Así no habría habitación con 2 ocupantes.
Esta propuesta le gustó a todo mundo. Era una solución del problema que todos habían
supuesto insoluble. Pero ni el director ni yo nos dimos cuenta de su precio: demasiados cuartos
estarían desocupados si nuestras soluciones eran adoptadas (de acuerdo a la mía -aquellos tales
como 6, 10, 12, y en general, todos los que tuvieran un número que no fuera potencia de primos y,
de acuerdo con la del director todos los cuartos cuyos números no pudieran escribirse en la forma
2m ⋅3n ). La mejor solución la propuso uno de los filatelistas, el presidente de la Academia de
Matemáticas de la Galaxia del Cisne.
El propuso que construyéramos una tabla, en cuyos renglones estuviera el número del
hotel y en las columnas estuviera el número del cuarto. Por ejemplo, en la intersección del 4º
renglón con la 6ª columna, aparecería la número 6 del 4º hotel. He aquí la tabla (realmente, solo la
parte superior izquierda; para escribirla completa tendríamos que usar una infinidad de renglones
y columnas):
(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) ... (1,n) ...
(2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) ... (2,n) ...
(3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) ... (3,n) ...
(4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) ... (4,n) ...
...
...
...
...
...
...
(m,1) (m,2) (m,3) (m,4) (m,5) ... (m,n) ...
...
...
...
...
...
...
-Y ahora, acomodemos a los que llegan de acuerdo a los cuadrados de la tabla –dijo el
matemático filatelista.
-¿Cómo? -el director no entendía.
-Por cuadrados. En el número 1, ponga al huésped del (1,1), es decir, al del cuarto 1 del 1er
hotel; en el número 2 ponga al del (1,2), es decir, al de la habitación 2 del 1er hotel; en el 3 ponga
al huésped del (2,2), la recámara 2 del 2º hotel y en el número 4, el huésped del (2, l), el cuarto l
del 2º hotel. Con esto habremos acomodado a los huéspedes del cuadrado superior izquierdo de
lado 2. Después ponga al huésped del (1,3) en el número 5, al del (2,3) en el 6, al del (3,3) en el 7,
al del (3,2) en el 8, al del (3,1) en el 9. (Estos cuartos llenan el cuadrado de lado 3). Y seguimos
de esta manera:
(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) ... (1,m) ...
(2,1) (2,2) (2,3) (2,4) ... (2,m) ...
(3,1) (3,2) (3,3) (3,4) ... (3,m) ...
(4,1) (4,2) (4,3) (4,4) ... (4,m) ...
...
...
...
...
...
(m,1) (m,2) (m,3) (m,4) ... (m,m) ...
...
...
...
...
...
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-¿Habrá así realmente habitación para todos? -el director dudaba.
-Desde luego. De acuerdo con este plan, habremos colocado a los huéspedes de los
primeros m cuartos de los primeros m hoteles, en los primeros m2 cuartos del nuestro. Así, tarde o
temprano cada huésped tendrá su habitación. Por ejemplo, si se trata del número 136 del hotel
217, alcanzará lugar en el piso 217. Es más podemos fácilmente imaginarnos en qué cuarto.
Tendrá el número 2162 + 136. Más generalmente si ocupa el cuarto n del m-ésimo hotel entonces,
si n ≥ m él ocupará el numero (n-1)2 + m, y si n < m ocupará el número m2 - n + 1.
Se reconoció que esta propuesta era la mejor -todos los huéspedes de todos los hoteles
encontrarían lugar en el nuestro y ningún cuarto quedaría vacío. El matemático filatelista recibió
el premio; un viaje por la Galaxia LCR267.
En honor de tan feliz solución, el director organizó una recepción a la que invitó a todos
los huéspedes. También esto tuvo sus problemas. Los ocupantes de los cuartos pares llegaron
media hora retrasados y cuando aparecieron se encontraron con que todas las sillas estaban
ocupadas, aunque nuestro bondadoso anfitrión había dispuesto todo para que cada invitado tuviese
su silla; tuvieron que esperar hasta que se hizo el reacomodo necesario para dejar vacantes el
número necesario de asientos (desde luego, no fue necesario traer ninguna nueva silla al salón).
Más tarde, cuando se comenzó a servir el helado, se descubrió que cada invitado tenía 2 porciones
aunque de hecho, el cocinero sólo había preparado una por invitado. Espero que por ahora el
lector pueda imaginarse la razón de esto.
Al final de la recepción abordé mi fotóncohete y regresé a la tierra. Tenía que informar a
los cosmonautas terrícolas del nuevo estilo que había en el cosmos. Además quería consultar
algunos prominentes matemáticos y a mi amigo el profesor Tarantog acerca de las propiedades de
los conjuntos infinitos.

Enrique

martes, 18 de septiembre de 2012

Falacias

El hotel extraordinario o el viaje mil uno de Ion el silencioso

lunes, 13 de agosto de 2012

Zello